Marcus Frings

Der Goldene Schnitt

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I. Grundlagen.

A. Definition.

Eine Strecke heißt im G. S. geteilt, wenn sich die Länge der kleineren Teilstrecke zu der der größeren Teilstrecke so verhält wie diese zur Länge der Ausgangsstrecke.[1] Die Strecke AB der Länge a wird also im Teilungspunkt E im G. S. geteilt, wenn die Teilverhältnisse (a-x)/x und x/a übereinstimmen (Abb. 1). Der Leserichtung folgend wird die Lage des Teilungspunkts üblicherweise von A aus gemessen, so daß er näher an B liegt, er könnte aber genauso gut in die Nähe von A gesetzt werden. Setzen wir für a den Wert 1, so ist x/a = 0,618… (oder ½ [√5 - 1]). Dieses Zahlenverhältnis gilt auch für die erneuten Unterteilungen ("innere Teilung"): Trägt man die kleinere Teilstrecke (Minor) auf der größeren (Major) ab, wird diese zur neuen Gesamtstrecke (Summa) usf., jeweils im Verhältnis des G. S., der daher in der Mathematik als "stetige Teilung" bezeichnet wird. Wird die Major der Gesamtstrecke AB angefügt, so wird sie zur Minor einer weiteren im G. S. geteilten neuen Summa der Länge 1,618… (oder ½ √5 + 1]), was als "äußere Teilung" bezeichnet wird.

Es entsteht eine geometrische Reihe (0,618…, 1, 1,618… usf.), in der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist, wie bei den "Fibonacci-Zahlen" (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw.). Sie sind nach dem Mathematiker Leonardo Pisano (Filius Bonacci) benannt, der damit (1202) die angeblich von Kaiser Friedrich II. gestellte Kaninchen-Aufgabe gelöst hatte, und werden in der Formel an + an+1 = an+2 auch als Lamé'sche Reihe bezeichnet.[2] Die Quotienten an / an+1 dieser rationalen Zahlen konvergieren gegen den irrationalen Wert des G. S. (0,618… oder ½ √5 - 1]), sie zielen also auf ein kommensurables Operieren mit diesem inkommensurablen Verhältnis.

B. Konstruktion.

Euklid gibt eine recht komplizierte zeichnerische Konstruktion, die den G. S. eher als Nebenprodukt enthält.[3]Das heute übliche Verfahren dagegen, das wohl auf Heron von Alexandrien zurückgeht, benötigt lediglich 2 Zirkelschläge unterschiedlicher Radien (Abb. 2).[4]Die Gesamtstrecke AB wird zur Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC, dessen Gegenkathete a/2 mißt. Die Gegenkathete trage man auf der Hypotenuse von C ab, übertrage den erhaltenen Punkt D im Abstand von A auf die Kathete AB, die so in E im G. S. geteilt ist.

Dessen Major ist nun die Seite eines regelmäßigen Zehnecks in einem Umkreis mit dem Radius a, in der Konstruktion Herons ergibt sich eine Fünfeckseite. So verbindet sich der G. S. eng mit dem Fünfeck, das mit seiner Hilfe leicht zu konstruieren ist. Die Diagonalen des Fünfecks schneiden sich in stetiger Teilung und bilden ein inneres Pentagramm, das wiederum ein Fünfeck enthält (in Entsprechung zur inneren Teilung).[5] Auf einfachem Wege ergibt ein geknoteter Papierstreifen ein Fünfeck, und auch in anderen geometrischen Formen läßt sich die stetige Teilung vorführen, etwa beim "goldenen" Rechteck oder der logarithmischen Spirale. Die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit ließ die stetige Teilung auch zum Gegenstand der Fraktalgeometrie werden.[6]

C. Wortgebrauch.

Euklid spricht von der Teilung "nach äußerem und mittlerem Verhältnis", womit die Verhältnisse Major : Summa und Minor : Major gemeint sind.[7] Dies war in Europa bis zur Mitte des 19. Jhs. üblich, abgesehen von der arabischen und arabisch beeinflußten Tradition, in der die Bezeichnung "Teilung mit einer Mitte und zwei Enden" verwendet wird. Für die Major sind auch die Ausdrücke "mittlere Proportionale" und "geometrisches Mittel" gebräuchlich. Die besondere Wertschätzung von G. S. und Fünfeck spricht schon aus dem Titel, den Luca Pacioli seinem 1497 verfaßten, aber erst 1509 mit zwei anderen Schriften publizierten Traktat gab: Divina proportione.[8]

Der Terminus "goldener Schnitt" taucht in den 1830er Jahren in Geometrie- und Mathematik-Lehrbüchern auf. Damit wird wohl eine ältere mündliche Tradition fixiert, auf die vermutlich Ausdrücke wie "numerus aureus" aus der Komputistik, "regula aurea" für den Dreisatz oder "theorema aurea" für das Haupttheorem der Ars conjectandi Jakob Bernouillis eingewirkt haben.[9] Mit den Schriften Adolf Zeisings und seiner Schüler setzte sich der Terminus G. S. im 19. Jh. breit durch, im Englischen als "golden section" bzw. "mean", "number" und "ratio", im Französischen als "section/nombre d'or", im Italienischen als "sezione aurea". Allein schon diese Begriffswahl bezeugt die ästhetische Relevanz und die faszinierende Attraktion des G. S. Dagegen richtet sich in jüngster Zeit der Versuch, wieder zur euklidischen Terminologie zurückzukehren. In der modernen Populärliteratur wird für den numerischen Wert des G. S. oft das Zeichen F eingesetzt, ebenso in der Mathematik, die aber auch über das Zeichen t (von tome/Schnitt) diskutiert.[10]

II. Kunstliteratur.

A. Kunsttheorie im engeren Sinne.

Der erste neuzeitliche Traktat über den G. S., Divina Proportione des Franziskaners Luca Pacioli, beschreibt die geometrischen Eigenschaften der stetigen Teilung und preist sie als "göttlich", da sie 5 Eigenschaften Gottes habe.[11] Weder im typographischen noch im architekturtheoretischen Teil empfiehlt er jedoch den G. S., bietet vielmehr eine um metaphysische Aspekte angereicherte Paraphrase der Säulenlehre Vitruvs. Paciolis modellhafte Architektur, das Portal des Tempels in Jerusalem, zeigt daher in keiner Weise eine stetige Proportion.[12] Sowohl der Traktat Paciolis als auch der G. S. ist für die Kunsttheorie uninteressant. Selbst Albrecht Dürer erkannte nicht den Zusammenhang zwischen seiner Fünfeck-Konstruktion und dem G. S. Die stetige Teilung verwendet er nicht, sein Praxis-Instrument des "Vergleichers" zum Konstruieren von Figuren ergibt eine stetige Proportion, was nicht zu verwechseln ist.[13] In der Reihe der möglichen Rechteckproportionierungen zwischen Quadrat und Doppelquadrat z. B. kommt der G. S. in keinem Traktat vor.

Erst mit Le Corbusier geht die stetige Teilung in die Kunstliteratur ein. Den bereits in frühen Entwürfen vorkommenden G. S. baut er, wohl angeregt durch die Schriften Matila Ghykas (s. u.) und Ernst Neuferts, zu einem umfassend anwendbarem Maßsystem aus.[14] Es beruht allerdings auf Annäherungswerten an Fibonacci-Zahlen, die lediglich aus vertikalen Maßstrecken des menschlichen Körpers gewonnen werden. Da die "blaue" Zahlenreihe (stetige Teilung der Gesamthöhe) und die "rote" Reihe (Teilung nur der Nabelhöhe) kombiniert werden dürfen, wird das System derart flexibel, daß vom G. S. mitunter wenig zu erkennen ist. Die Bedeutung Le Corbusiers und seine große Wirkung liegt darin, daß er aus rationalistischen Motiven erneut eine normative Ästhetik propagiert, die ein anthropomorphes Maßsystem mit abstrakter Geometrie verbindet. So fehlt heute der G. S. in kaum einem Lehrbuch zur Gestaltung. Hin und wieder dient er auch dazu, um architektonischen Entwürfen eine Reflexion der Proportionen beizugeben.[15]

B. Proportionsanalysen.

Adolf Zeising schließt 1854 mit seiner Schrift über die Proportionen des menschlichen Körpers an die in der Kunsttheorie eben überwundene Lehre von der prästabilierten Harmonie an, wenn er im Kosmos wie in der Kunst den G. S. als "Grundprinzip aller nach Schönheit … drängenden Gestaltung" ausmacht.[16] Das legt er auf den Gebieten der Botanik, Zoologie, Anatomie, dann bildende Kunst und auch Musik dar, womit er eine ganze Schule begründet, die sich dann auch der Astronomie, Kristallographie und sogar Dichtung zuwandte.[17] Von allen Versuchen, in der Geschichte der Kunst normierende Proportionssysteme auszumachen (z. B. Triangulatur, Quadratdiagonale und die Verhältnisanalogie August Thierschs), sind die dem G. S. gewidmeten am weitesten verbreitet und wohl die bis heute folgenreichsten, auch heute noch erscheinen entsprechende Studien.[18] Allen gemeinsam ist das Fehlen fachwissenschaftlicher Methodik und kunsttheoretischer Bezüge. Steht diese universelle Morphologie noch in einem Zusammenhang mit einem rationalen Positivismus, entstehen seit dem Beginn des 20. Jhs. metaphysisch orientierte Studien, die eine Tradition bis zur Esoterik der Gegenwart entfalten.[19]

C. Experimentelle Ästhetik.

In der Geschichte der Psychologie ist der G. S. bedeutsam als Paradigma der experimentellen Ästhetik. Gustav Theodor Fechner trug entscheidend zur Formierung der Disziplin bei, indem er die Rezeption des G. S. anhand einfacher geometrischer Formen untersuchte. Dabei stellte er fest, daß ein im G. S. proportioniertes Rechteck von Probanden bevorzugt wurde.[20] Da er dies weder bei Ellipsen noch in der schlichten Streckenteilung bestätigen konnte, sah er "den ästhetischen Werth des G. S. von Zeising überschätzt".[21] Seitdem bereits die Einfühlungspsychologie die absolute Bedeutung des G. S. hinterfragte, und zahlreiche variierende Experimente selbst Fechners Ergebnisse für das "goldene Rechteck" nicht wiederholen konnten, ist mittlerweile kaum umstritten, daß es generell unmöglich ist, einen psychophysischen Formenkanon aufzustellen.[22]

D. Kunstwissenschaftliche Ästhetik.

Dennoch haben Zeisings Thesen und Fechners Experimente auf die umfassenden Systeme der kunstwissenschaftlichen Ästhetik seit Beginn des 20. Jhs. eingewirkt. Max Dessoir[23] und Miloutine Borissavlievitch[24] diskutieren den G. S. kritisch, Paul Frankl gilt er dagegen als konstituierendes Element des "harmonialen Stils".[25]

III. Bildende Kunst.

A. Methodik.

Alle Nachweise von Proportionssystemen post festum müssen unter epistemologischen Vorbehalt stehen und ihre Methode reflektieren. Das Objekt kann nicht ohne kunsthistorisches Handwerkszeug untersucht werden, da bereits die Bauaufnahme Daten liefern soll, die zur Entstehungszeit aktuell waren. Die Auswahl der Maßstrecken muß von der Entwurfspraxis der Zeit ausgehen, die Frage der Toleranzen muß die Baupraxis berücksichtigen. Werden Zahlenverhältnisse im G. S. gefunden, lassen sie sich bei Gebäuden oft aus dem baulichen Kontext erklären.

B. Architektur.

Das Modell der Florentiner Domkuppel von 1367 weist laut Beschluß der Baukommission zwar die Maße von 144 braccia in der Höhe und 72 in der Breite aus, und auch die Tribunen sollten 72 br. hoch sein. Daß der Tambour 17 br. und folglich die Kuppel allein 55 br. messen sollte, läßt sich jedoch nicht belegen. Daher fehlt der These, die "otto maestri e dipintori" hätten diese Fibonacci-Reihe ihrem Plan zugrunde gelegt, der dokumentarische Beleg.[26] Und selbst die 72 und 144 br. finden eine Erklärung, die mit dem G. S. nichts zu tun hat: Das im Westen bereits vollendete Langhaus bemißt seine Breite von 72 br. wohl nach der Gesamtbreite der Vorgängerkirche S. Reparata, und es liegt nahe, dieses Maß für die Kuppelweite zu übernehmen und dann für die innere Kuppelhöhe zu verdoppeln.

Eine ähnliche Kritik trifft die Thesen, die Pazzi-Kapelle Brunelleschis sei nach dem G. S. entworfen. Konrad Hecht hat in 17 Proportionsanalysen, die meist den G. S. herausstellen, erhebliche Differenzen zwischen Ist- und Sollmaßen nachgewiesen.[27] Auch sein eigener Vorschlag einer speziellen Elle weicht von den Bauaufnahmen ab und berücksichtigt nicht hinreichend die Unregelmäßigkeiten im Innern der Kapelle sowie die Bedingungen des Bauplatzes, die Brunelleschis Entwurfsfreiheit deutlich einschränkten.[28] Auch andere Versuche, in Gebäuden den bewußten Einsatz des G. S. nachzuweisen, können nicht überzeugen.[29] Bisher unerforscht ist der Einfluß der Schriften Zeisings und seiner Schule auf die zeitgenössische Architektur.

Schon vor den theoretischen Äußerungen findet sich der G. S. im architektonischen Werk Le Corbusiers. Die Villa Stein in Garches (1927) weist in der Rechteckproportion von Grund- und Aufriß sowie in der Strukturierung des Grundrisses annähernd die stetige Teilung auf. Der Fassadenentwurf zeigt, daß über die Fibonacci-Zahlen - hier 3 und 5 - geometrische und modulare Entwurfsregulierung durchaus vereinbar sein können: unter den Plan notiert Le Corbusier den Rhythmus, darüber die stetige Teilung. Eine Demonstration der Anwendung des Modulors - allerdings mit beträchtlichen Toleranzen - ist die Unité d'Habitation in Marseille (1945-52), die den Modulor gar in der Fassadendekoration zeigt. Bei allem Erfolg Le Corbusiers scheint die Wirkung des Modulors doch begrenzt zu sein. Neue Analysen zu Gebäuden und dem G. S. finden sich im Nexus Network Journal. Architecture and Mathematic Online (http://www.nexusjournal.com).

C. Malerei.

Im zweidimensionalen Medium der Malerei scheint der G. S. einfacher nachzuweisen zu sein, die Versuche sind Legion.[30] Einiges für sich hat die These, Tommaso Masaccio habe im Trinitätsfresko (Florenz, S. Maria Novella, 1429) den G. S. als Kompositionsmittel eingesetzt. Die vorgeschlagene euklidische Konstruktion mit einer Variante im gleichschenkligen Dreieck dürfte auf die intensive Auseinandersetzung mit der Geometrie Euklids und die Perspektivstudien Masaccios zurückzuführen sein.[31]

Auch über einen reflektierten Einsatz des G. S. in der Malerei nach Zeising und vor allem Fechner ist nachzudenken. Im Werk George Seurats tauchen öfters 5:8-Proportionen auf, doch fehlen dokumentarische Belege dazu.[32] Für Paul Sérusier ist dagegen belegt, daß er den G. S. nicht nur kannte, sondern um die Jahrhundertwende auch zur Entwurfskontrolle einsetzte.[33] Die kubistische Künstlergruppe "Section d'Or" allerdings verstand den G. S. eher als ein Signum für ihre Interessen an Wissenschaft und Philosophie, obwohl auch versucht wurde, den G. S. als geometrisches Kompositionsmittel nachzuweisen.[34] Zu einer wahren Fibonacci-Mode kam es in den 1960er Jahren in der Minimal Art. Einige Installationen von Timm Ulrichs haben den G. S. zum Thema, der mit einem zerschnittenen Weißbrot auch ironisiert wird ("Der Goldene Schnitt [Anwendungs-Beispiel]", 1969). Im klassischen Tafelbild variiert Jo Niemeyer den G. S. als Flächenphänomen.[35]

D. Unreflektierter Einsatz.

Einige Künstler haben Thesen abgelehnt, die ihnen eine Anwendung des G. S. unterstellten, so Juan Gris, Piet Mondrian und Otto Pankok.[36] Das wäre mit der modernen Auffassung vom autonomen Künstler (der sich nicht "Maß-regeln" läßt) und der Subjektivität seines Schaffens gewiß nicht vereinbar. Diese auch für frühere Zeiten selbstverständliche Freiheit läßt es zu, daß immer wieder in einzelnen Werken erstaunlich genau der G. S. getroffen ist, und zwar in allen Gattungen. Für das Kunsthandwerk ist der Buchdruck zu nennen (Satzspiegel), der Geigenbau, oder als Einzelwerk der Tassilokelch (um 777): Hier scheint der Teilungspunkt genau in der Mitte der Kuppa zu liegen.[37] Auch in der Architektur lassen sich bei korrekter Analyse gewiß hier und da Proportionen im G. S. feststellen, die jedoch kaum als solche bewußt gewählt sind. Das ist der Fall bei den Obergeschoß-Fenstern der Villa La Fratta bei Sinalunga (1527/28, Peruzzi?), die sehr exakt den G. S. treffen.[38] Ebenso mag in der Architektur etwa die Rechteckproportion der Quadratdiagonale zu finden sein, wenn man sie nur suchte. Alle Aussagen über die Proportionierung von Kunstwerken im G. S. sind meist ebenso eine Aussage zur Geometrie der Monumente wie auch zur Person des Suchenden.

Zu den Abbildungen:

1. Goldener Schnitt, Schema (Zeichnung Verf.)

2. Goldener Schnitt, Konstruktion (Zeichnung Verf.)

Mein Dank gilt C. Heinrich Wunderlich, Jürgen Bokowski, Raphael Rosenberg, Gerda Bödefeld und Pamela C. Scorzin.

 

1 Euklid: Die Elemente VI, Def. 3, nach Heibergs Text aus dem Griech. übers. und ed. von Clemens Thaer, 8. Aufl., Darmstadt 1991, S. 111.

2 Steven Vajda: Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications, Chichester, New York, Brisbane und Toronto 1989.

3 Euklid: Elemente II, 11.

4 Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998 (Diss. Hamburg 1993), S. 191 f.

5 Hermann von Baravalle: Die Geometrie des Pentagrammms und der Goldene Schnitt, Stuttgart 1950, S. 13 f.

6 Hans Walser: Der Goldene Schnitt, Stuttgart, Leipzig, Zürich 2. Aufl. 1996.

7 ([1] S. 434, Anm. zu VI, Def. 3)

8 Luca Paciol: Divina proportione, Venedig 1509 (Nachdr. Urbino 1969).

9 Fredel 1998, s. 237, Roger Herz-Fischler: A Mathematical History of the Golden Number, Mineola und New York 1998, S. 168-170.

10 Fredel 1998, S. 37 f. und S. 193-195.

11 F. 3 v - 4 r.

12 F. 23 r - 33 v; dazu Marcus Frings: Mensch und Maß. Anthropomorphe Elemente in der Architekturtheorie des Quattrocento, Weimar 1998 (Diss. Darmstadt 1995), S. 301-317.

13 Z. B. die Londoner Blätter um 1513, publiziert von Bernhard Rupprich (Hg.): Dürers schriftlicher Nachlaß, Bd. 2, Berlin 1966, Nr. 12, 16 und 17; dazu J. Fredel: Dürer und der Goldene Schnitt, in: Die Beredsamkeit des Leibes. Zur Körpersprache in der Kunst. Ausstellung Wien, Albertina, 13.05.-07.11.1993, hg. von Ilsebill Barta Fliedl und Christian Geissmar, Salzburg 1992, S. 174-80.

14 Le Modulor, Boulogne-sur-Seine 1948, und Modulor 2, ibid. 1955.

15 Z. B. Ricardo Bofill, Taller de Arquitectura, hg. von von Annabelle d'Huart, Stuttgart 1985.

16 Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, Leipzig 1854, S. V.

17 Fredel 1998, S. 12-18.

18 Fredrik Macody Lund: Ad quadratum. A study of the geometrical bases of classic & medieval religious architecture, London 1921, Charles Funck-Hellet: De la Proportion. L'équerre des maîtres d'oeuvre, Paris 1951, bis György Doczi: Die Kraft der Grenzen. Harmonische Proportionen in Natur, Kunst und Architektur, Stuttgart (1984) 4. Aufl. 1996.

19 Z. B. Matila C. Ghyka: Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Paris [1927] 1998, und Walther Bühler: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip, Stuttgart 1996.

20 Über die Frage des goldnen Schnitts, in: Archiv für die zeichnenden Künste 11 (1865), S. 100-112, und mit differenzierter Versuchsanordnung und Reflexion ders.: Vorschule der Ästhetik, T. 1, 2, Leipzig 1876, S. 184-202.

21 Ibid. S. 162 bzw. ders.: Warum wird die Wurst schief durchgeschnitten?, in: ders.: Kleine Schriften, Leipzig 1913, S. 255-270.

22 Fredel 1998, S. 21-27.

23 Ästhetik und allgemeine Kunstwissenschaft, Stuttgart 1906, S. 124-127.

24 Traité d'esthétique scientifique de l'architecture, Paris 1954.

25 Das System der Kunstwissenschaft, Brünn, Leipzig 1938, S. 43.

26 Wolfgang Braunfels: Der Dom von Florenz, Olten, Lausanne, Freiburg/Br. 1964, S. 31.

27 Maßverhältnisse und Maße der Cappella Pazzi, in: architectura 5 (1976), S. 148-174.

28 Howard Saalman: Designing the Pazzi Chapel: The Problem of Metrical Analysis, in: architectura 8 (1979), S. 1-5.

29 Z. B. Wolfgang Wiemer: Baugeometrie und Maßordnung der Abteikirche Ebrach. Ergebnisse einer Computeranalyse I. Zugleich Einführung in die Methodik, Würzburg 1995, und Gianluigi Garbellini: Armonia rinascimentale nella facciata del Santuario della Madonna di Tirano, in: Bollettino della Società storica valtellinese 48 (1995), S. 115-33.

30 Jüngst Nevenka Kroschewski: Caravaggio-Bild und Caravaggios Bilder - zur Frage der künstlerischen Methode, in: artibus et historiae 39 (1999) S. 191-215.

31 Florian Huber: Das Trinitätsfresko von Masaccio und Filippo Brunelleschi in Santa Maria Novella in Florenz, München 1990, S. 46-50.

32 Roger Herz-Fischler: An examination of claims concerning Seurat and the "Golden Number", in: Gazette des Beaux-Arts 101 (1983), S. 109-112.

33 Ders.: Le Nombre d'or en France de 1886 à 1927, in: Revue de l'Art 118 (1997), S. 9-16.

34 William A. Camfield: Juan Gris and the Golden section, in: The Art Bulletin 47 (1965), S. 128-135.

35 Dietmar Guderian: Mathematik in der Kunst der letzten 30 Jahre, Ebringen/Br. 1990.

36 Fredel 1998, S. 34.

37 Franz Mali: Der Tassilokelch. Seine klassischen Proportionen, in: Das Münster 1 (1997), S. 67-70.

38 Frdl. Hinweis von Gerda Bödefeld.